经过一些RL之后，我怀疑先要进行比较好的SFT，作为RL的初始解，但SFT的数据量和质量是好的，我对比了一下我自己SFT和R1-distill，从数学模型上效果差距较大。如果弥补了这种差距，继续RL才比较靠谱，所以先要排查一下自己SFT为啥不好。
先说结论，通过对HF上公开的数学数据，个人认为，自己的SFT训练能力是对齐外部模型的报告的，一个最直接的证据就是：在7B尺寸模型上能够增长出同样水平的数学解题能力。下面分两部分，一部分是数据集，一部分是训练后的case分析。附表有更详细的数据集分析。
1. 现有数据集
总体来看，数据出品方的口碑、处理过程的公开程度、生产数据所使用的模型智商，决定了数据的质量。使用质量高的进行训练结果也会相对好一些。另外，公开数据集中的高质量数据也已经不少了（过滤后剩下306297条thinking格式数据 VS DS-distill-Qwen 80w，优势在我【大雾】），足够进行训练（暂未考虑去重）
- 调用三方API来生产数据不能解决以下问题:
- （1）题目有瑕疵: 此时期望response应该能对题目进行澄清、补全/修正条件之后进行求解，言之有理即可；
- （2）编程辅助计算: 对于有固定算法的数学问题，期望response能编写代码来辅助计算，而非直接给出答案； 但是如果在APP上使用，又可以调起工具来解决: https://www.doubao.com/thread/wcdfc4570c4b860ab）
- （3）巧妙解法: 对于一些需要巧妙解法的数学问题，期望能给出人类常用的巧妙解法，而非暴力求解（https://yb.tencent.com/s/mO3RahaJnaA2）；
模型太强，暴力求解太快了，起码不适合用于教学目的，大模型难道也有“知识的诅咒”？
```
## TODO: 如何定义、收集这类数据？
- 变量代换【kimi，doubao都算错了】
- case1: 已知非0实数\(x,y\)满足\(x/y+y/x+2xy=x^2-y^2\)，求\(x^2+y^2\)的最小值
- case2: 已知\(x,y,z>0,x^2+y^2+z^2=1\)，求 \(\min \frac{(z+1)^2}{2xyz}\)和\(x+y+z-xyz\)的范围
- 几何求解
- 已知 \(x^2+y^2=x^2+z^2+\sqrt{3}xz=y^2+z^2+yz = 16\)，求\(2xy+xz+\sqrt{3}yz\) ```
- 变量代换【kimi，doubao都算错了】
- （4）适应不同学段: 根据不同学段的论域来解决问题，比如在虚数域解方程的时候会比实数域有更多解，三方API通常会默认一个论域来进行。
- 公开数据集缺少以下类型的高质量SFT数据，我尝试对某几类给出以下构造方案（可惜我对于形式化数学知之甚少，是否可以用形式化数学的方法从解题步骤反向构造题目，希望有大佬给指点一下）:
- （1）证明题: HOW？
- （2）题目有瑕疵: 分为条件不全、条件矛盾；对于条件不全的，是否可以让模型来改写正常问题使之缺少条件，然后让模型对照原题进行回答（补全条件+解答），构成SFT数据。对于条件矛盾的，暂时没有好的构造思路。
- （3）多小问: 分为多个问题逐一回答然后统合起来，构成SFT数据。
- （4）编程辅助计算: 搜集一堆code snippets，随机生成入参，运行代码，得到结果，然后让模型对入参生成题目，统合code和结果（参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/673854403）生成SFT数据。
- （5）巧妙解法: http://xhslink.com/o/7YYeHGBqzAZ 参考这类，是否能把构造法给到大模型作为prompt生成题目和解答，构成SFT数据。
1.1 数据集概览表
| 出品方 | 数据集名称 | 数据量 | 有无think | 是否需要转换 | 是否采用 | 推荐度 | 主要特点 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| DeepSeek | DeepSeek-R1-Distill-data-110k | 11万 | ✅ CoT | 否 | ✅ | ⭐⭐⭐⭐⭐ | 保留数据来源，介绍打分方式，难题解对，甚至能纠正题目 |
| ShareGPT | ShareGPT | - | - | - | 🔄 TODO | - | Paper: https://arxiv.org/pdf/2504.16891 |
| PrimeIntellect | INTELLECT-MATH-SFT-Data | 70万（过滤后） | ✅ CoT | 是 | ✅ | ⭐⭐⭐⭐ | 量大管饱，质量较高、难度中等，system prompt完善 |
| Numina | NuminaMath-QwQ-CoT | 500万 | ✅ CoT | 是 | ⚠️ | ⭐⭐⭐ | 量大，但质量存在问题，训练效果不如预期 |
| - | qwq_synthetic_sft_data_math | - | - | - | ❌ | ❌ | 质量非常差，问题和答案错配 |
| - | MathInstruct | - | ✅ 混合 | 是 | ✅ | ⭐⭐⭐⭐ | 质量较高，需要格式转换，含PoT示例 |
| - | sft-data-math | - | ✅ CoT | 是 | ⚠️ | ⭐⭐ | 无readme，题目和答案存在多处瑕疵 |
| O1-OPEN | OpenO1-SFT-MATH | - | ✅ Thought | 是 | ⚠️ | ⭐⭐ | 需要去重和过滤，训练后分数下降 |
| Alpaca | alpaca-sft-math-tasks | - | ❌ 直接 | 是 | ✅ 部分 | ⭐⭐⭐ | 类型题，启发编程工具需求 |
| Alpaca | alpaca-sft-math-factorial | - | ❌ 直接 | - | ❌ | ❌ | n! % M 计算题 |
| Alpaca | alpaca-sft-math-hard2 | - | - | - | 🔄 审批中 | - | - |
| - | tulu-3-sft-math | - | ❌ 直接 | 否 | ✅ | ⭐⭐⭐ | 偏简单，基本正确，无think模式 |
| Belle | Belle_school_math | - | ❌ 直接 | 否 | ❌ | ❌ | 偏简单，题型重复，质量不高 |
| Kyara | kyara-chinese-math | - | ❌ 直接 | 否 | ❌ | ❌ | 偏简单，题型重复 |
1.2 用Qwen3-14B进行数据检查和转换
- 正确性检查
def output_correctness(instruction, output):
prompt = f"""判断下面的回答是否正确，如果正确，返回1；如果错误，返回0。\n
问题: {instruction}
回答: {output}\n
注意:
- 直接返回1或0，不要添加任何其他内容。
- 对于计算题，不仅要检查最终结果，还要检查计算过程是否正确。
- 对于选择题，最终答案应该给出完整的选项和内容，不能只给出内容。
- 对于证明题，证明过程要完整、严谨，不能有逻辑漏洞。"""
response = vllm_chat(prompt, max_tokens=20)
response = response.strip()
return response.startswith("1")
- 推理格式转换
def reasoning_output_transform(instruction, output):
prompt = f"""从题目和解答中，提取出解答的思考过程和最终结果，思考过程用<thought>...</thought>括起来，回答过程用<answer>...</answer>括起来。最终结果用\\boxed括起来。
注意: 是提取出给你的解答的思考过程和最终结果。不要自己解题！不要自己解题！
1. 思考和回答都要使用和原始输入相同的语种，如果题目用中文，回答也要用中文，如果题目用英文，回答也要用英文
2. 回答过程是思考过程的整理，不能是思考过程的简单复述
3. 对于编写代码的题目，忠实提取代码内容，不要取代代码直接计算
4. 如果题目是选择题，最终答案应该给出完整的选项和内容，不能只给出内容
5. 不要脱离原来的解答自由发挥
6. 你的输出始终以<thought>开头，以</answer>结尾
------
示例输入1:
题目: The distance between two stars is 6.52 x 10^5 light years. What is the distance between the two stars in parsecs? (1 parsec = 3.26 light years)\nAnswer Choices: (A) 2 x 10^5 (B) 4 x 10^6 (C) 5 x 10^7 (D) 7 x 10^7 (E) 9 x 10^8
解答: Let's think about the multi-choice question. 6.52 x 10^5 ly / (3.26 ly/parsec) = 2 x 10^5 persec\\nThe answer is A.
示例输出1: <thought>Let's think about the multi-choice question. 6.52 x 10^5 ly / (3.26 ly/parsec) = 2 x 10^5 persec</thought><answer>The answer is \\boxed</answer>
------
示例输入2:
题目: 等差数列的首项是3，公差是2，求前100项的和。
解答: 本题可先根据等差数列的性质表示出$a_n$，再根据求和公式$S_n=\\frac2(a_1+a_n)$求出前100项和$S_100$。\\n- $a_n=1+2n$，$S_n=\\frac2(a_1+a_n)=\\frac2(3+1+2n)=n^2+2n$\\n- $S_{100}=100^2+2*100=10200$。
示例输出2: <thought>本题可先根据等差数列的性质表示出$a_n$，再根据求和公式$S_n=\\frac2(a_1+a_n)$求出前100项和$S_100$。\\n- $a_n=1+2n$，$S_n=\\frac2(a_1+a_n)=\\frac2(3+1+2n)=n^2+2n$\\n- $S_{100}=100^2+2*100=10200$</thought><answer>结果\\boxed10200</answer>\n
题目: {instruction}
解答: {output}"""
response = vllm_chat(prompt, max_tokens=len(output) * 2)
return response
- 格式验证
def reasoning_output_format_validate(content):
if content.startswith("<thought>") and content.endswith("</answer>") \
and content.count("<thought>") == 1 and content.count("</thought>") == 1 \
and content.count("<answer>") == 1 and content.count("</answer>") == 1 \
and content.count("\\boxed{") == 1:
return True
else:
return False
- 内容一致性验证
def reasoning_output_content_validate(instruction, content1, content2):
prompt = f"""比较下面对于同一个问题的两个回答，判断它们语义是否一致。
如果回答的中间过程出现语义不一致，返回0；
如果最终结果不完全一致（包括格式和语义，例如对于选择题，一个回答给出选项代码，一个回答给出选项内容，应该认为是不一致的），则返回0；
问题: {instruction}
---
回答1: {content1}
---
回答2: {content2}
---
注意: 直接返回1或0，不要添加任何其他内容。"""
response = vllm_chat(prompt, max_tokens=20)
response = response.strip()
return response.startswith("1")
remark: 更多精细校验：
- math-verifier
- Alibaba + deepseek: https://arxiv.org/pdf/2406.14024v1
2. SFT对比
这一部分首先要分析我认为数学推理能力包括什么表象，如何设计一些问题来体现这些表象，然后如何对比不同模型+不同数据集训练后的表象来说明问题。
2.1 5个case
- case1: 最简单的
PROMPT: 1+1=？
查看是否有过度的think
- case2: 等差数列求和问题
PROMPT: 已知等差数列${a_n}$的公差为$d=\frac{1}{2}$，且$a_2+a_4+a_6+…+a_{100}=80$，求该数列的前100项之和
查看是否有用简便算法，这里1/2不能换成1，换成1对于小尺寸模型来说，暴力计算也很简单，但是1/2的话暴力计基本都会算错，或者算着算着陷入不断的检查、校验。所以1/2这个数值能更好地体现模型的数学计算能力和简便计算能力。
- case3: 不等式最小值问题
PROMPT: 若$a>0,b>0$且$a+b=2$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为多少？
查看模型是否学会基本的求导，是否会用不同方式来相互映证。
- case4: 物理问题（光速叠加）
PROMPT: 我打开手电筒，沿着光照射的方向向前跑，光照出的速度不就是光速叠加上我移动的速度，从而超过了光速吗？
查看模型是否理解基本的物理原理，能否进行正确的、通俗的解释。
- case5: 函数极值问题
PROMPT: 求函数$f(x)=(1+2x) \ln (1+x)-x$的极值
查看模型是否能正确求导（涉及到符号计算），能否正确找出极值点并进行验证（因为这里涉及超越方程，无法直接解出临界点，人通常会先猜一个最基础的，然后验证），模型有可能学不会先猜后验证，而是用数值方法不断逼近，陷进去了。就是说，模型能否理解人类的解题思路，而非单纯的数值计算。
2.2 模型对比表格
| case | DeepSeek-R1-Distill-Qwen-1.5B | Qwen3-0.6B | Qwen3-1.7B | Qwen2.5-0.5B-instruct | Qwen2.5-1.5B-instruct | Qwen2.5-1.5B-instruct + SFT （数据无充分治理） |
Qwen2.5-1.5B-instruct + SFT （数据经过充分治理） |
Qwen2.5-7B-instruct + SFT （数据经过充分治理） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| comments | 总体正确，略有瑕疵，说明1.5B尺寸在这些问题上能够做得好 | 过程罗嗦，正确的也是暴力求解的 | 虽然有时候结果对，但是通常不知所云、罗嗦 | 经常自我重复，是否过拟合？还是训练崩了？ | 完全正确，对比Qwen3-8B，14B，32B都是能打的 | |||
| case1 | <think> 嗯，我现在要解决的问题是“1+1=?”，看起来是一个简单的加法题，但可能有一些陷阱或者需要注意的地方。首先，我应该先确认题目是否正确，或者有没有其他隐藏的条件。不过题目看起来应该是直接的加法问题，所以可能不需要考虑其他因素。 首先，我应该回忆一下基本的数学运算规则。在数学中，加法的定义是将两个数相加。1加1，应该就是1加上1的结果，也就是2。这个结果应该是正确的，对吧？不过，有时候可能会有其他的考虑，比如是否考虑单位或者是否需要其他运算，但这里的问题看起来很简单，没有其他变量或者条件。 不过，为了确保自己没有遗漏，我应该再仔细检查一遍。1加1等于多少呢？是的，2。所以答案应该是2。可能有人会疑惑为什么不是其他数字，比如1+1=3或者别的什么，但显然根据基本的加法原则，结果应该是2。 有没有可能题目中的符号或者运算顺序有什么特别需要注意的地方？比如，是否应该考虑运算顺序，比如先乘还是先加？不过加法的优先级通常高于乘法，所以这里加法应该是优先的。所以1+1就是1+1=2。 有没有可能题目有其他的陷阱，比如是否需要考虑进位或者借位？比如，当加数超过10时，但这里都是1，所以不需要借位。因此，结果应该是2。 再想一下，可能有人会犯的错误是直接写成1+1=1+1=2，但这样表达方式是对的，只是结果正确。或者可能有人会错误地认为加法的结果是2，而忘记正确计算，但这是正确的。 总之，经过反复的思考和验证，我认为1+1的结果应该是2。所以最终的答案应该是\boxed{2}。 </think> 1+1=2 <answer>\boxed{2}\</answer> |
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| case2 | <think> 好的，我现在要解决这个关于等差数列的问题。题目说公差d是1/2，而a₂ + a₄ + a₆ + ... + a₁₀₀等于80，要求前100项的和。首先，我需要回忆一下等差数列的前n项和公式，以及如何处理这类交替奇数项求和的问题。 首先，等差数列的通项公式是aₙ = a₁ + (n-1)d，这里公差d是1/2。题目中给出的是从a₂开始的偶数项的和，也就是a₂ + a₄ + a₆ + ... + a₁₀₀。这里的项数是多少呢？让我先计算一下，从n=2到n=100，步长为2的数列共有多少项。总共有(100 - 2)/2 + 1 = 50项？或者直接用总项数减去第一个项的位置？ 不过更准确的方式是，从a₂开始，每两项为一组，所以总共有50组，每组有两个项。因此，总和应该是50个项的和，但这里每个项都是公差为1/2的等差数列，所以每个偶数项的和可以单独计算？ 不过可能更直接的方法是，先求出前100项的和，然后利用奇数项和偶数项的差来简化计算。不过题目已经给出的是从a₂开始的偶数项的和，所以可能需要用这个信息来解题。 首先，前100项的和S = (a₁ + a₁₀₀) × 100 / 2，因为等差数列前n项和的公式是n/2 × (a₁ + aₙ)。不过这里可能需要先确定首项a₁和末项a₁₀₀。 但题目中给出的条件是a₂ + a₄ + a₆ + ... + a₁₀₀ = 80。这里需要注意的是，前100项的和包括a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀，而题目中的条件只涉及a₂, a₄, ..., a₁₀₀。因此，前100项的和S可以分解为前50项和加上后50项的和，但题目中的条件只给出后半部分的和，即从a₂开始的偶数项的和。不过可能需要更仔细的分析。 不过，可能更简单的是，先找到前100项的和，然后利用给出的偶数项和来解出首项a₁或末项a₁₀₀，进而求和。 不过，可能更直接的是，先找到前100项的和，然后利用给出的条件来解题。 首先，前100项的和S = (a₁ + a₁₀₀) × 100 / 2。 而题目中给出的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80，即从a₂开始的偶数项的和为80。 同样，前100项的和也可以表示为S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₁₀₀ = a₁ + [a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀] + a₃ + ... + a₁₀₀。不过这可能更复杂。 或者，可能更简单的是，注意到前100项的和S = a₁ + (a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀) + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀。不过这样分解可能反而更麻烦，因为后面的部分a₃ + a₅ + ... + a₉₉的和需要计算，而题目中没有给出这个部分的信息。 不过，可能我应该先找到a₂到a₁₀₀的和，即给出的条件，然后结合前n项和的公式来解。 或者，先找到前100项的和，然后利用给出的偶数项和来解出首项a₁或末项a₁₀₀，进而求出整个前100项的和。 不过，可能更有效的方法是，先确定前100项的和，然后利用给出的条件来解出首项a₁或末项a₁₀₀，进而计算整个和。 首先，前100项的和S = 100/2 × (a₁ + a₁₀₀) = 50(a₁ + a₁₀₀)。 现在，题目中的条件是a₂ + a₄ + a₆ + ... + a₁₀₀ = 80，即从a₂开始的偶数项的和为80。 同样，前100项的和S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₁₀₀ = 50(a₁ + a₁₀₀)。 现在，我需要找到a₁和a₁₀₀的关系，从而求出S。 注意到前100项的和S可以写成S = a₁ + [a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀] + [a₃ + a₅ + ... + a₉₉] + a₁₀₀。 不过，这可能更复杂，但或许可以分解为两部分：前50项和加上后50项和，但题目只给了后半部分的和。或者，可能需要找到a₁和a₁₀₀的关系。 或者，注意到从a₂开始的偶数项的和，即a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀，可以看作是前100项中，从第2项开始，每两个项的和。因此，前100项的和S可以分解为： S = (a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀) + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀ 即 S = 80 + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀ 不过，这可能仍然需要更多的信息。 或者，考虑前100项的和S = 50(a₁ + a₁₀₀)，而题目中给出的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80。即，从a₂开始的偶数项的和是80，而前100项的和S = a₁ + (a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀) + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀ = a₁ + 80 + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀。 不过，可能这里需要另一个方程来解a₁和a₁₀₀。 或者，考虑到前100项的和S = 50(a₁ + a₁₀₀)，同时，a₁₀₀ = a₁ + 99d。因为公差d=1/2，所以a₁₀₀ = a₁ + 99*(1/2) = a₁ + 49.5。 同样，前100项的和S = 50(a₁ + (a₁ + 49.5)) = 50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5。 而题目中的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80，即从a₂开始的偶数项的和为80。 同样，前100项的和S = a₁ + [a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀] + [a₃ + a₅ + ... + a₉₉] + a₁₀₀ = a₁ + 80 + [a₃ + a₅ + ... + a₉₉] + a₁₀₀。 不过，这里可能需要找到a₃ + a₅ + ... + a₉₉的和，或者另一个方程。 或者，考虑到前100项的和S可以分解为前50项和加上后50项的和，但题目只给了后半部分的和。或者，可能需要找到a₂到a₁₀₀的和，即80，然后结合前100项的和公式来解。 不过，可能更有效的方法是，注意到前100项的和S = 50(a₁ + a₁₀₀)，而a₁₀₀ = a₁ + 99*(1/2) = a₁ + 49.5。所以S = 50(a₁ + a₁ + 49.5) = 50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5。 现在，题目中的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80。这个和可以分解为从a₂开始的偶数项的和。同样，前100项的和S = a₁ + (a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀) + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀ = 80 + (a₃ + a₅ + ... + a₉₉) + a₁₀₀。 不过，这里可能需要另一个方程。或者，注意到a₃ + a₅ + ... + a₉₉ 是从第3项到第99项的和，而这些项可以表示为前100项的和减去a₁和a₂，或者类似的分解。不过这可能比较复杂。 或者，考虑前100项的和S，其中前50项是a₁, a₂, a₃, ..., a₄₉，然后后50项是a₅₀, a₅₁, ..., a₁₀₀。但题目中的条件是a₂, a₄, ..., a₁₀₀，即前50项中，从a₂开始，每两个项相加，而最后的a₁₀₀是偶数项中的最后一个。 不过，可能更简单的是，前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)，而a₁₀₀ = a₁ + 49.5。所以S = 100a₁ + 247.5。 现在，题目中的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80。这个和可以表示为： (a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀) = 80 而前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 100a₁ + 247.5 现在，我需要找到a₁和a₁₀₀的关系，使得这个条件成立。 或者，注意到从a₂开始的偶数项的和，即前50项的和，但需要考虑每个偶数项的值。 不过，可能更有效的是，将前100项的和S表示为50*(a₁ + a₁₀₀)，而a₁₀₀ = a₁ + 49.5，因此S = 50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5。 现在，题目中的条件是a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80，即从a₂开始的偶数项的和为80。同样，这个和可以分解为前50项的和，但需要找到每个偶数项的值。 不过，可能我需要找到a₂到a₁₀₀的和，即80，然后结合S的表达式来解。 或者，注意到从a₂开始的偶数项的和，即a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀，而前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)。因此，如果我能找到a₁和a₁₀₀的关系，或者通过其他方式得到这个和，就能解出S。 或者，考虑到前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)，而题目中的条件是这个和的一部分，或者另一个部分？ 或者，可能我需要找到a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80，而前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)，所以如果我能找到a₁ + a₁₀₀的关系，或者用其他方式表达这个和，就能解出S。 或者，注意到从a₂开始的偶数项的和，即a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀，而每个偶数项都是a₁ + (n-1)d，其中n是项数。不过这里可能更直接的方式是，每个偶数项的和可以用等差数列求和公式来计算，即从a₂到a₁₀₀，每两项相加，所以总共有50项，每两项相加，总和为50*(a₂ + a₁₀₀)/2 = 25*(a₂ + a₁₀₀)。不过，这里可能需要更准确的计算。 比如，从a₂到a₁₀₀的偶数项的和，即a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀。首先，这些项的数量是50项，每项都是从a₂开始，每隔两项。所以总和为50*(a₂ + a₁₀₀)/2 = 25*(a₂ + a₁₀₀)。根据题目，这个总和等于80，所以25*(a₂ + a₁₀₀) = 80，即a₂ + a₁₀₀ = 3.2。 而前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)。 现在，我需要找到a₁和a₁₀₀的关系，或者另一个方程来解这个。 不过，我需要找到a₂ + a₁₀₀ = 3.2，而a₁₀₀ = a₁ + 99*(1/2) = a₁ + 49.5。同样，a₂ = a₁ + (2-1)*d = a₁ + d = a₁ + 0.5。因此，代入a₂ + a₁₀₀ = 3.2： (a₁ + 0.5) + (a₁ + 49.5) = 3.2 即 2a₁ + 50 = 3.2 → 2a₁ = 3.2 - 50 = -46.8 → a₁ = -23.4 然后，前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*( -23.4 + (-23.4 + 49.5) ) = 50*( -23.4 + 26.1 ) = 50*(2.7) = 135. 所以，前100项的和是135。 不过，让我再检查一下步骤是否正确： 首先，a₂ + a₄ + ... + a₁₀₀ = 80，即从a₂到a₁₀₀的偶数项和为80。用等差数列的和公式，共有50项，首项a₂，末项a₁₀₀，和为50*(a₂ + a₁₀₀)/2 = 25*(a₂ + a₁₀₀) = 80，所以a₂ + a₁₀₀ = 3.2。正确。 然后，a₁₀₀ = a₁ + 99*(1/2) = a₁ + 49.5。同样，a₂ = a₁ + 0.5。所以代入得2a₁ + 50 = 3.2 → 2a₁ = -46.8 → a₁ = -23.4。正确。 然后，前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*( -23.4 + (-23.4 + 49.5) ) = 50*( -23.4 + 26.1 ) = 50*2.7 = 135。正确。 因此，前100项的和是135，即\boxed{135}。 不过，为了确保正确性，我再用另一种方法验证一下。比如，计算前100项的和是否等于135。 首先，前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5。根据上面的计算，a₁ = -23.4，所以S = 100*(-23.4) + 247.5 = -2340 + 247.5 = -2092.5？这显然和之前的计算结果不符，哪里出错了？ 哦，这里显然有问题！这里出现了矛盾，说明之前的计算哪里出错了！ 让我重新计算前100项的和S： 根据之前的步骤，前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀)。而a₁ = -23.4，a₁₀₀ = -23.4 + 49.5 = 26.1，所以a₁ + a₁₀₀ = -23.4 + 26.1 = 2.7，所以S = 50*2.7 = 135，没错。但之前用另一种方式计算时，得到的是-2092.5，显然哪里出错了？ 哦，这里可能是在计算S的时候犯了错误。让我重新计算S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*(2a₁ + 49.5)，当a₁ = -23.4时，2a₁ = -46.8，所以S = 50*(-46.8 + 49.5) = 50*(2.7) = 135。没错，之前的错误出现在哪里？ 之前我误以为S = 50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5，但这是错误的。正确的展开应该是50*(2a₁ + 49.5) = 100a₁ + 247.5，而当a₁ = -23.4时，这个表达式应该是100*(-23.4) + 247.5 = -2340 + 247.5 = -2092.5，但根据另一种方法得到的是135，显然哪里出错了！ 显然，这里存在矛盾，说明我的步骤中哪里出错了。让我再仔细检查一遍。 首先，a₁ = -23.4，a₁₀₀ = a₁ + 99*(1/2) = -23.4 + 49.5 = 26.1。所以a₁ + a₁₀₀ = -23.4 + 26.1 = 2.7。所以前100项的和S = 50*2.7 = 135，正确。 而另一种计算方式，S = 50*(2a₁ + 49.5) = 50*(2*(-23.4) + 49.5) = 50*(-46.8 + 49.5) = 50*(2.7) = 135，正确。之前的错误出现在哪里呢？我之前误将S表示为100a₁ + 247.5，这是错误的，正确的展开应该是50*(2a₁ + 49.5)，而不是100a₁ + 247.5。因此，正确结果是135。 看来之前的错误是在展开式中，我混淆了系数。因此，前100项的和确实是135。 不过，为了彻底确认，我再用另一种方式计算前100项的和。例如，前100项的和可以表示为： S = (a₁ + a₁₀₀) * 100 / 2 = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 135，正确。 因此，最终答案应该是135，即\boxed{135}。 不过，我需要再次检查整个过程是否正确，避免任何计算错误。 首先，公差d=1/2，正确。 从a₂到a₁₀₀的偶数项的和为80，正确。 计算a₂ + a₁₀₀ = 3.2，正确。 然后，a₂ = a₁ + 0.5，a₁₀₀ = a₁ + 49.5，正确。 代入得2a₁ + 50 = 3.2 → 2a₁ = -46.8 → a₁ = -23.4，正确。 前100项的和S = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*(2.7) = 135，正确。 因此，答案正确。 </think> <answer>\boxed{135}\</answer> |
<think> 嗯，我现在要解决这个等差数列的问题。题目说已知公差d是1/2，然后给出a₂ + a₄ + a₆ + … + a₁₀₀ = 80，要求前100项的和。好，我先回忆一下等差数列的一些基本公式。 首先，等差数列的通项公式是a_n = a₁ + (n-1)d。这里公差d是1/2，所以每个后面的项都是前一个加1/2。那题目中的前100项之和S₁₀₀应该是S₁₀₀ = (n/2)(a₁ + a₁₀₀)，其中n=100。不过可能还有其他方法，比如利用等差数列的性质或者分组求和。 现在题目给的是a₂ + a₄ + a₆ + … + a₁₀₀ = 80。这个部分的和是偶数项的和，从第2项开始到第100项，每隔一项相加。也就是说，这些项的位置是2,4,6,…,100，共有多少个呢？因为从2到100，每次增加2，所以项数是(100 - 2)/2 +1 = 50项。对吧？比如2,4,6,...,100，共50项。没错，因为当k=1时，2*1=2；k=50时，2*50=100，所以总共有50项。 接下来，我要把这些偶数项的和表示出来。每个偶数项可以写成a_{2k}，其中k从1到50。根据等差数列的通项公式，a_{2k} = a₁ + (2k -1)d。不过可能更简单的方式是注意到这些项本身也是一个等差数列，公差是2d，也就是1。因为每个相邻的项之间差的是d，而这里是每两项之间的差，所以公差是2d，即1。比如a₂ - a₁ = d，a₄ - a₂ = 2d，以此类推，所以整个序列a₂,a₄,a₆,…,a₁₀₀是一个公差为1的等差数列，首项是a₂，末项是a₁₀₀。 那么这个新的等差数列的和就是：S = 50 * [a₂ + a₁₀₀]/2 = 50*(a₂ + a₁₀₀)/2 = 25*(a₂ + a₁₀₀)。题目里说这个和等于80，所以有： 25*(a₂ + a₁₀₀) = 80 → a₂ + a₁₀₀ = 80 / 25 = 3.2 接下来，我需要找到a₁和a₁₀₀之间的关系，或者找到前100项的和S₁₀₀。因为前100项的和S₁₀₀ = (100/2)*(a₁ + a₁₀₀) = 50*(a₁ + a₁₀₀)。所以我需要找到a₁ + a₁₀₀的值。 现在，我需要将a₂和a₁₀₀用a₁和d来表示。根据等差数列的通项公式： a₂ = a₁ + d = a₁ + 1/2 a₁₀₀ = a₁ + 99d = a₁ + 99*(1/2) = a₁ + 99/2 所以，a₂ + a₁₀₀ = (a₁ + 1/2) + (a₁ + 99/2) = 2a₁ + (1/2 + 99/2) = 2a₁ + (100/2) = 2a₁ + 50 之前算出a₂ + a₁₀₀ = 3.2，所以： 2a₁ + 50 = 3.2 → 2a₁ = 3.2 - 50 = -46.8 → a₁ = -46.8 / 2 = -23.4 这样，a₁ = -23.4，那么前100项的和S₁₀₀ = 50*(a₁ + a₁₀₀) = 50*(-23.4 + (-23.4 + 99/2))？ 不过这里可能哪里出错了，因为a₁₀₀已经用a₁和d计算过了，所以代入的话： a₁₀₀ = a₁ + 99/2 = -23.4 + 99/2 = -23.4 + 49.5 = 26.1 所以a₁ + a₁₀₀ = -23.4 + 26.1 = 2.7 所以S₁₀₀ = 50*2.7 = 135？ 不过这样的话，结果是不是有问题呢？让我再检查一遍步骤是否正确。 首先，确定偶数项的和是否正确。原题中给出的a₂ + a₄ +…+a₁₀₀ =80，这部分确实是50项，因为从2到100，每隔2项取一次，共有(100-2)/2 +1=50项。这部分没问题。 然后，这个新数列a₂,a₄,…,a₁₀₀是一个公差为2d的等差数列，也就是公差为1，因为d=1/2，所以公差是2*(1/2)=1。首项是a₂=a₁ + d =a₁ +1/2，末项是a₁₀₀=a₁ +99d=a₁ +99/2。所以这个新数列的和是50*(a₂ + a₁₀₀)/2=25*(a₂ + a₁₀₀)=80，解得a₂ + a₁₀₀=80/25=3.2。这一步是对的。 接着，用a₁的表达式： a₂ = a₁ +1/2， a₁₀₀ = a₁ +99/2， 所以a₂ + a₁₀₀ = 2a₁ + (1/2 +99/2) = 2a₁ +50 =3.2 → 2a₁=3.2-50=-46.8 →a₁=-23.4。这也没问题。 然后，前100项的和S₁₀₀=(100/2)*(a₁ + a₁₀₀)=50*(a₁ + a₁₀₀)=50*(-23.4 +26.1)=50*2.7=135。看起来是对的。 不过，我突然想到，可能我的计算过程中哪里出错了。比如，a₁₀₀的计算是否正确？ a₁₀₀ = a₁ +99d = a₁ +99*(1/2)=a₁ +49.5。而a₁=-23.4，所以a₁₀₀=-23.4 +49.5=26.1，没错。 所以a₁ +a₁₀₀=-23.4 +26.1=2.7，乘以50得到135。这个结果对吗？ 不过，让我再试另一种方法验证一下。比如，前100项的和也可以用S₁₀₀ = n/2*(a₁ + a₁₀₀) =100/2*(a₁ +a₁₀₀)=50*(a₁ +a₁₀₀)。而根据之前的计算，a₁ +a₁₀₀=2.7，所以S₁₀₀=50*2.7=135。没错。 或者，我可以直接计算前100项的和，看是否符合。比如，前100项的和等于S₁₀₀ =100/2*(a₁ +a₁₀₀)=50*(a₁ +a₁₀₀)，而a₁=-23.4，a₁₀₀=26.1，所以a₁ +a₁₀₀=2.7，乘以50得135。没错。 看来这个结果是对的。不过，可能我的直觉告诉我这个结果有点大，但经过仔细计算，应该没问题。 或者，换一种方式思考，比如前100项的和是否可以通过其他方法得到。例如，考虑所有奇数项和偶数项的和，然后相减或者相加得到总和。 已知偶数项的和是80，那么奇数项的和是多少呢？因为等差数列中，奇数项和偶数项的和有什么关系吗？ 假设前100项中有50个奇数项和50个偶数项。那么前100项的和S₁₀₀ = 奇数项的和 + 偶数项的和 = S_奇 + S_偶 = S_偶 + S_偶 = 2*S_偶？ 不对，因为奇数项和偶数项各50项，但它们的位置不同，不能直接相加。或者，可能需要更多的分析。 比如，奇数项的位置是1,3,5,…,99，共有50项。偶数项的位置是2,4,6,…,100，也是50项。那么奇数项的和可以表示为a₁ + a₃ + a₅ +…+a₉₉，而偶数项的和是a₂ +a₄ +…+a₁₀₀=80。 那么，奇数项的和与偶数项的和之间的关系是什么呢？ 每个奇数项的位置比对应的偶数项的位置小1，即a_k = a_{k+1} - d，因为a_{k+1}=a_k +d。所以，对于每个奇数项来说，a_k = a_{k+1} - d。因此，奇数项的和S_奇 = Σ_{k=1,3,5,…,99} a_k = Σ_{k=1,3,5,…,99} (a_{k+1} - d) 不过，这个展开可能比较复杂，或许可以考虑将奇数项和偶数项的和相减或者相加。 或者，我们可以考虑整个数列的前100项的和，即S₁₀₀ = Σ_{n=1}^{100} a_n = Σ_{k=1}^{50} (a_{2k-1} + a_{2k})。每个这样的项是a_{2k-1} + a_{2k}。而根据等差数列的性质，a_{2k-1} + a_{2k} = 2a₁ + (2k-1)d + (2k-1)d = 2a₁ + (4k -2)d = 2(a₁ + (2k-1)d) = 2a_{2k} 不过这似乎没有直接帮助。或者，可能更好的方法是，将前100项分为奇数项和偶数项，然后分别求和，再相加。 不过，或许更简单的方法是利用等差数列的性质，前100项的和等于前50项的和加上后50项的和，或者类似的方式。 不过，或许更有效的方法是，既然已经知道偶数项的和是80，而前100项的和等于奇数项的和加上偶数项的和，那么如果我能找到奇数项的和，就可以得到总和了。 但是如何找到奇数项的和呢？ 考虑到奇数项的位置是1,3,5,…,99，共有50项，而偶数项的位置是2,4,6,…,100，同样50项。那么，奇数项的和S_奇 = Σ_{k=1}^{50} a_{2k-1}，而偶数项的和S_偶 = Σ_{k=1}^{50} a_{2k} =80。 那么，S_奇 = Σ_{k=1}^{50} a_{2k-1}，而S_偶 = Σ_{k=1}^{50} a_{2k} =80. 现在，观察这两个和之间的关系。注意到每个a_{2k} = a_{2k-1} + d，因为等差数列的公差是d=1/2。所以，a_{2k} = a_{2k-1} + 1/2。 因此，S_偶 = Σ_{k=1}^{50} (a_{2k-1} + 1/2) = Σ_{k=1}^{50} a_{2k-1} + Σ_{k=1}^{50} 1/2 = S_奇 + 50*(1/2) = S_奇 +25. 所以，S_偶 = S_奇 +25 =80 → S_奇 =80 -25=55. 那么，前100项的和S₁₀₀ = S_奇 + S_偶 =55 +80=135，这和之前的结果一致。所以答案应该是135，对吗？ 这样看来，两种不同的方法都得到了同样的结果，说明答案正确。所以，前100项的和是135。 不过，为了确保万无一失，再检查一遍计算过程。 首先，确定偶数项的和是否正确： 偶数项的和是80，共有50项，每个项的公差是1（因为公差d=1/2，所以每两个相邻偶数项之间的差是2d=1）。首项是a₂，末项是a₁₀₀，所以这个新的等差数列的和是50*(a₂ +a₁₀₀)/2=25*(a₂ +a₁₀₀)=80 →a₂ +a₁₀₀=80/25=3.2. 然后，用a₁和d的关系： a₂ =a₁ +1/2， a₁₀₀ =a₁ +99*(1/2)=a₁ +49.5， 所以a₂ +a₁₀₀=2a₁ +50=3.2 →2a₁=3.2-50=-46.8→a₁=-23.4. 然后，前100项的和S₁₀₀=50*(a₁ +a₁₀₀)=50*(-23.4 +49.5)=50*2.7=135. 另外，通过奇数项和偶数项的和相加也得到135，所以结果正确。 因此，答案应该是135，即\boxed{135}。 </think> <answer> 已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d=\frac{1}{2}$，且$a_2 + a_4 + a_6 + \dots + a_{100} = 80$，求该数列的前100项之和。 **步骤解析：** 1. **确定偶数项的和：** - 偶数项的下标为2, 4, 6, ..., 100，共有50项。 - 这些项构成一个新的等差数列，首项为$a_2$，末项为$a_{100}$，公差为$2d = 1$。 - 根据等差数列求和公式，偶数项的和为： \[ S_{\text{偶}} = \frac{50}{2} \times (a_2 + a_{100}) = 25 \times (a_2 + a_{100}) = 80. \] - 解得： \[ a_2 + a_{100} = \frac{80}{25} = 3.2. \] 2. **表示$a_2$和$a_{100}$：** - $a_2 = a_1 + d = a_1 + \frac{1}{2}$， - $a_{100} = a_1 + 99d = a_1 + \frac{99}{2}$。 - 因此： \[ a_2 + a_{100} = 2a_1 + \left(\frac{1}{2} + \frac{99}{2}\right) = 2a_1 + 50 = 3.2. \] - 解得： \[ 2a_1 = 3.2 - 50 = -46.8 \implies a_1 = -23.4. \] 3. **计算前100项的和：** - 前100项的和为： \[ S_{100} = \frac{100}{2} \times (a_1 + a_{100}) = 50 \times (a_1 + a_{100}). \] - 将$a_1 = -23.4$和$a_{100} = a_1 + \frac{99}{2} = -23.4 + 49.5 = 26.1$代入： \[ S_{100} = 50 \times (-23.4 + 26.1) = 50 \times 2.7 = 135. \] **验证方法：** - 将前100项分为奇数项和偶数项，奇数项和偶数项的和分别为$S_{\text{奇}}$和$S_{\text{偶}}$。 - 每个偶数项$a_{2k}$可表示为$a_{2k-1} + d$，因此： \[ S_{\text{偶}} = \sum_{k=1}^{50} (a_{2k-1} + d) = S_{\text{奇}} + 50d = S_{\text{奇}} + 25. \] - 已知$S_{\text{偶}} = 80$，解得$S_{\text{奇}} = 80 - 25 = 55$。 - 总和$S_{100} = S_{\text{奇}} + S_{\text{偶}} = 55 + 80 = 135$，与上述结果一致。 **最终答案：** \[ \boxed{135} \] </answer><|im_end|> Qwen2.5-7B_exp2.2 (sdpa): (115.87s) |
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| case3 | ||||||||
| case4 | ||||||||
| case5 | <think> 嗯，我现在要找这个函数f(x) = (1 + 2x) ln(1 + x) - x的极值。首先，我应该回忆一下怎么找函数的极值点。一般来说，极值出现在导数为零或者导数不存在的点上。所以我的第一步应该是先求出这个函数的一阶导数，然后解方程f’(x)=0，找到临界点，再判断这些临界点是极大还是极小。 不过，在开始之前，我需要确认一下函数的定义域。原函数里面有ln(1 + x)，所以里面的参数1 + x必须大于0，也就是x > -1。因此，函数的定义域是x ∈ (-1, ∞)。接下来，我需要计算一阶导数。 让我先写出原函数：f(x) = (1 + 2x) ln(1 + x) - x。为了求导，可能需要用乘积法则和链式法则。首先处理第一部分(1 + 2x) ln(1 + x)，这部分可以用乘积法则，即导数等于第一个因子的导数乘第二个因子加上第一个因子乘第二个因子的导数。 第一个因子是1 + 2x，它的导数是2；第二个因子是ln(1 + x)，导数是1/(1 + x)。所以这部分的导数是2 * ln(1 + x) + (1 + 2x) * [1/(1 + x)]。 然后减去x的导数，就是-1。所以整个一阶导数f’(x)应该是： f’(x) = 2 ln(1 + x) + (1 + 2x)/(1 + x) - 1 接下来，我需要将这个表达式化简，看看能不能简化成更易处理的形式。首先，注意到分母都是1 + x，所以可以尝试合并分数项： (1 + 2x)/(1 + x) - 1 = [ (1 + 2x) - (1 + x) ] / (1 + x) = [1 + 2x - 1 - x]/(1 + x) = (x)/(1 + x) 所以，原来的导数可以写成： f’(x) = 2 ln(1 + x) + x/(1 + x) 这样看起来更简洁了。现在，我需要解方程f’(x) = 0，即： 2 ln(1 + x) + x/(1 + x) = 0 这看起来有点难解，可能需要用代数方法或者数值方法来解决。不过，或许可以通过变量替换或者其他技巧来简化。 让我尝试令t = 1 + x，那么x = t - 1，当x > -1时，t > 0。代入原方程： 2 ln(t) + (t - 1)/t = 0 展开的话，(t - 1)/t = 1 - 1/t，所以方程变为： 2 ln t + 1 - 1/t = 0 这似乎还是不太容易解出来，可能需要用数值方法或者观察是否有显式的解。或者，我可以尝试两边乘以t，消去分母： 2 ln t * t + t*(1) - t*(1/t) = 0 → 2 t ln t + t - 1 = 0 所以得到方程： 2 t ln t + t - 1 = 0 这可能是一个超越方程，无法用初等函数解出来，但或许存在一个显式的解。让我试试看是否存在这样的解。 假设存在某个正数t使得这个方程成立，我们可以试一些可能的值。比如，t=1： 左边是2*1*ln1 + 1 -1 = 0 +1 -1=0，刚好满足。所以t=1是解。对应的x = t -1 = 0，所以x=0是一个临界点。 这时候，我需要检查x=0是否在定义域内，显然x=0在(-1, ∞)里，没问题。 接下来，我需要确定这个临界点是极大还是极小。通常可以用二阶导数检验，或者用一阶导数的符号变化来判断。 首先，我应该计算二阶导数f''(x)，然后在x=0处的值。如果f''(0) >0，则是极小值；如果f''(0) <0，则是极大值。 不过，先让我计算二阶导数。首先，已知一阶导数f’(x) = 2 ln(1 + x) + x/(1 + x)，现在需要对它求导。 对于第一部分2 ln(1 + x)，导数是2/(1 + x)。 第二部分x/(1 + x)，可以用商数法则，导数是 [ (1 + x)(1) - x(1) ] / (1 + x)^2 = (1 + x - x)/ (1 + x)^2 = 1/(1 + x)^2 所以，二阶导数f''(x) = 2/(1 + x) + 1/(1 + x)^2 现在，代入x=0： f''(0) = 2/(1 + 0) + 1/(1 + 0)^2 = 2 + 1 = 3 > 0，所以x=0是极小值点。 那这个时候，函数在x=0处取得极小值，值为f(0) = (1 + 2*0)*ln(1 + 0) - 0 = 1*0 -0 = 0。 不过，我需要确认是否还有其他的临界点。刚才通过代数的方法，我们发现当t=1时，方程成立，对应x=0。但有没有其他解呢？ 因为方程是超越方程，可能只有这一个解。不过，为了确保没有遗漏，我可以考虑方程的单调性或者其他情况。 例如，考虑函数g(t) = 2 t ln t + t -1，其中t >0。我们需要找到g(t)=0的解。首先，计算g(t)在t趋近于0+时的行为： 当t→0+时，2 t ln t →0（因为t ln t趋近于0），而t→0，所以g(t)→0 + 0 -1 = -1 <0。 当t→∞时，2 t ln t增长得很快，而t也增长，所以g(t)→∞。 而g(t)在t=1时g(1)=0 +1 -1=0，所以在t=1附近有一个根。此外，我们可以检查g(t)的单调性： 计算g’(t) = 2[ ln t + 1 ] +1 = 2 ln t + 2 +1 = 2 ln t +3. 当t > e^{-3/2}时，即t > e^{-1.5}≈0.223，此时g’(t) >0，所以g(t)在t > e^{-1.5}时单调递增。而当t < e^{-1.5}时，g’(t) <0，所以g(t)在t < e^{-1.5}时单调递减。由于当t→0+时，g(t)=-1，而在t=e^{-1.5}时，g(e^{-1.5})=2*e^{-1.5}*ln(e^{-1.5}) +e^{-1.5}-1 = 2*e^{-1.5}*(-1.5) +e^{-1.5}-1 = -3e^{-1.5} +e^{-1.5} -1 = (-3 +1)e^{-1.5} -1 = -2e^{-1.5} -1 ≈ -2*0.223 -1≈-0.446-1≈-1.446 <0。 而当t=1时，g(t)=0，所以根据中间值定理，当t从0到1时，g(t)由负变正，所以只有t=1是唯一的解。因此，原方程只有x=0这个临界点。 所以，函数f(x)在x=0处有一个极小值，值为0。 不过，为了彻底确认，我需要再检查一下函数在x=0附近的导数符号变化。当x趋近于0+时，比如x=0.1，代入一阶导数： f’(0.1) = 2 ln(1.1) + 0.1/(1.1) ≈ 2*0.0953 + 0.0909 ≈ 0.1906 + 0.0909≈0.2815>0，说明在x=0右侧导数为正，而在x=0左侧，比如x=-0.1，虽然x=-0.1不在定义域内，但在x接近0的左端，比如x= -0.1 + ε，其中ε>0非常小，但此时x仍然小于0，属于定义域外。不过，根据导数的连续性，当x趋近于0-时，ln(1 + x)趋向于负无穷，而(1 + 2x)趋向于1，所以整体导数趋向于负无穷。因此，当x从左边趋近于0时，导数为负，而右边趋近于0时导数为正，所以在x=0处导数由负转正，符合极小值的条件。 综上所述，函数f(x)在x=0处有一个极小值，值为0。 不过，题目问的是极值，可能还要求写出所有极值点，但这里只有一个临界点x=0，且是极小值点。所以答案应该是极小值点x=0，极小值为0。 不过，为了确保万无一失，我再检查一下二阶导数的计算是否正确。原函数的一阶导数是2 ln(1 + x) + x/(1 + x)，求二阶导数： 第一部分的导数是2/(1 + x)，第二部分的导数是 [ (1 + x)(1) - x(1) ] / (1 + x)^2 = 1/(1 + x)^2，没错。所以二阶导数确实是2/(1 + x) + 1/(1 + x)^2，代入x=0得到3，正确。 所以结论是对的，函数在x=0处有极小值0。 **答案** 函数的极小值为$\boxed{0}$，出现在$x=\boxed{0}$处。 </think> <answer> 首先，我们需要求函数 \( f(x) = (1 + 2x) \ln(1 + x) - x \) 的极值。极值出现在导数为零或导数不存在的点上，因此我们首先求出一阶导数并解方程 \( f'(x) = 0 \)。 1. **求一阶导数**： \[ f(x) = (1 + 2x) \ln(1 + x) - x \] 使用乘积法则和链式法则，得到： \[ f'(x) = 2 \ln(1 + x) + \frac{1 + 2x}{1 + x} - 1 \] 2. **化简一阶导数**： 将第二部分的分数项合并： \[ \frac{1 + 2x}{1 + x} - 1 = \frac{x}{1 + x} \] 因此，一阶导数可化简为： \[ f'(x) = 2 \ln(1 + x) + \frac{x}{1 + x} \] 3. **解方程 \( f'(x) = 0 \)**： 令 \( t = 1 + x \)，则 \( x = t - 1 \)，代入方程： \[ 2 \ln t + \frac{t - 1}{t} = 0 \] 化简后得到： \[ 2 \ln t + 1 - \frac{1}{t} = 0 \] 令 \( g(t) = 2 t \ln t + t - 1 \)，解得 \( g(1) = 0 \)，对应 \( x = 0 \)。 4. **验证极值类型**： 计算二阶导数： \[ f''(x) = \frac{2}{1 + x} + \frac{1}{(1 + x)^2} \] 代入 \( x = 0 \) 得： \[ f''(0) = 2 + 1 = 3 > 0 \] 因此，\( x = 0 \) 是极小值点。 5. **计算极小值**： \[ f(0) = (1 + 2 \cdot 0) \ln(1 + 0) - 0 = 1 \cdot 0 - 0 = 0 \] 最终，函数的极小值为 \(\boxed{0}\)，出现在 \( x = \boxed{0} \) 处。 </answer> |
2.3 总结
- 即使到了Qwen3的8B、14B、32B，复杂数学问题也主要是”硬算”出来的
- 经过充分数据治理的SFT模型在数学推理上表现显著提升
- 模型大小对解题能力有影响，但数据质量同样重要，下一步是提高1.5B的模型质量
附录
数据集详细分析
1. DeepSeek-R1-Distill-data-110k ⭐⭐⭐⭐⭐
基本信息:
- 数据量: 11万条
- 采用状态: ✅ 推荐使用
优点:
- 保留了数据来源，可追溯性强
- 介绍了打分方式:
- 使用Math-verify解析问题
- 表达式消歧处理
- 多线程安全机制
- 使用模型进行评分
Case Study:
- 难题解答正确率高
- 甚至能够纠正题目中的错误
2. INTELLECT-MATH-SFT-Data ⭐⭐⭐⭐
基本信息:
- 数据量: 过滤后约70万条可用
- 采用状态: ✅ 推荐使用
- 评价: 量大管饱
特点:
- 无遵循推理输出格式（需要转换）
- 质量较高、难度中等
- System prompt更加完善
System Prompt示例:
{
"content": "Solve the following math problem efficiently and clearly. Think carefully and step by step about your response and reason before providing a final response. Conclude your response with: \n\nTherefore, the final answer is: $\\boxed{answer}$. I hope it is correct.\n\nWhere [answer] is just the final number or expression that solves the problem. If the question is a multiple choice question, [answer] should be the letter indicating your correct response (e.g. \\text{A} or \\text{B}).",
"role": "system"
}
数据验证逻辑:
instruction = item["messages"][1]["content"]
output = item["messages"][2]["content"]
final_result = output.rsplit("\\boxed{", 1)[-1].rsplit("}", 1)[0]
if len(final_result) > 5 * len(item["ground_truth"]): # 一些数据在犹豫二选一
continue
final_result = "".join(final_result.replace("\\dfrac", "\\frac").split())
gt = "".join(item["ground_truth"].replace("\\dfrac", "\\frac").split())
sig1 = 1
if final_result != gt and gt not in final_result and final_result not in gt:
sig1 = 0
sig2 = 0
try:
if verify(parse(f"${final_result}$"), parse(f"${gt}$")):
sig2 = 1
except:
pass
if sig1 == 0 and sig2 == 0:
continue
Ground Truth说明:
- GT来源未明确说明，怀疑是从回答中抽取的
- 可用来检查回答是否异常，从而进行过滤
3. NuminaMath-QwQ-CoT ⭐⭐⭐
基本信息:
- 数据量: 500万条
- 采用状态: ⚠️ 谨慎使用
- 评价: 量大但质量存在问题
问题分析:
- 无遵循推理输出格式
- 训练效果不理想:
- 500万条训练7B模型（intellect-math应该也是基于qwen训练的）
- 只达到deepseek-R1-distill-Qwen1.5B的水平
- 对比AIME2024、MATH-500数据，效果不如Qwen3 1.7B
- 距离deepseek-R1-distill-Qwen7B相差较大
- 说明数据质量存在一定问题
Case Study发现的问题:
| 问题类型 | Problem ID | 具体描述 | 严重程度 |
|---|---|---|---|
| 数据泄露 | 650008 | 答案结束后出现”human assistant”字样 | 🔴 高 |
| 超长截断 | 650002 | 证明题超长被截断（题目太难） | 🟡 中 |
| 正确证明 | 650560 | 证明看起来是对的 | 🟢 无问题 |
| 缺少条件 | 650576 | 疑似缺少图片，提到”The figure” | 🔴 高 |
| 难度大 | - | 部分题目难以理解 | 🟡 中 |
| 假错误(GT错) | - | GT错误，解答中的96是正确的 | 🟡 中 |
| 假错误(都对) | 650569 | GT和解答都正确但被标记为错 | 🟡 中 |
| 真错误 | - | 确实存在错误 | 🔴 高 |
证明题情况:
- 较多证明题（prompt含有”Prove that”字样）
- 部分证明正确，部分被截断
4. qwq_synthetic_sft_data_math ⭐ （不采用）
问题:
- ❌ 没有readme
- ❌ 质量非常差
- ❌ 几乎所有的问题和答案都是错配的
结论: 不建议使用
5. MathInstruct ⭐⭐⭐⭐
基本信息:
- 参考论文: https://arxiv.org/pdf/2309.05653v3
- 采用状态: ✅ 推荐使用
重要启发:
- Paper的附录中有例子证明: PoT（Program of Thought）对比CoT是很好的补充
- 受此启发，数学解题能力建设中也需要编程的tool调用
特点:
- ✅ 质量较高，答案和过程一般都没有问题
- ⚠️ 不是推理格式，需要转换和校验
Case Study:
- 存在部分格式不对的情况
6. sft-data-math ⭐⭐
基本问题:
- ❌ 无readme
- ⚠️ 题目和答案存在多处瑕疵
Case Study发现的问题:
| 问题类型 | 具体描述 | 备注 | 严重程度 |
|---|---|---|---|
| 选项缺失 | 题目选项中没有正确答案（-1+5i），解答也不对 | - | 🔴 高 |
| 题目不严谨 | 题目没有唯一解 | remark: 50x=60(x-y) x,y是整数 | 🟡 中 |
| 答案瑕疵 | 区间的开闭和规范写法问题 | 正确答案应为$(1/4,1/2]$ | 🟡 中 |
7. OpenO1-SFT-MATH ⭐⭐
基本信息:
- 采用状态: ⚠️ 需要大量处理后使用
存在的问题:
| 问题类型 | 具体描述 | 处理方法 |
|---|---|---|
| 训练效果差 | Readme显示训练后分数下降 | - |
| 数据重复 | Query重复 | 需要去重 |
| 不遵循指令 | 含有”write a program in Python”的题目，最终却是直接数学计算求解 | 全部删除 |
| 格式错误 | <Thought>,</Thought>,<Output>,</Output>数量不严格等于1 |
删除不符合的数据 |
| 数据错误 | 存在错误 | 参考: https://huggingface.co/datasets/O1-OPEN/OpenO1-SFT/discussions/15 |
处理建议:
- 对Query进行去重
- 删除不遵循指令的数据
- 删除格式不符合的数据
- 进行正确性过滤
8. Alpaca系列
共同特点:
- 都是类型题
- 启发: 对于固定算法的计算，需要编程工具
alpaca-sft-math-tasks ⭐⭐⭐（采样0.01，部分采用）
包含的题型:
- 求解GCD（辗转相除法）
- 证明素数
- 任何一对素数中找出和为N的最小素数（哥德巴赫猜想）
alpaca-sft-math-factorial （不采用）
题型: n! % M 计算题
alpaca-sft-math-hard2 （审批中）
状态: 待审批
9. 简单数据集
tulu-3-sft-math ⭐⭐⭐
基本信息:
- 采用状态: ✅ 用于训练无think模式
特点:
- 偏简单
- 基本正确
- 无think（也确实不需要）
用途: 加入用于训练无think模式
Belle_school_math ⭐⭐ （不采用）
特点:
- 偏简单
- 基本正确
- 无think（也确实不需要）
问题:
- ❌ 都是简单的加减乘除应用题
- ❌ 题型和tulu3有重复
- ❌ 题目可能是生成的，质量不高
结论: 不建议使用
kyara-chinese-math ⭐⭐ （不采用）
特点:
- 偏简单
- 基本正确
- 无think（也确实不需要）
问题:
- ❌ 都是简单的加减乘除应用题
- ❌ 题型和tulu3有重复
结论: 不建议使用
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